תורת המספרים האלגברית

תשע״ח

• הרצאה 1 ←

  -אדמיניסטרציה
  - מוטיבציות ודברים שנראה:
  1) משוואות דיופנטיות- חוגי פריקות יחידה, משפט היחידות של דיריכלה
  2) שדות גלובליים- השערת הארדי ליטלווד בחוגי פולינומים

• הרצאה 2 ←

  אלגברה קומוטטיבית:
  - לוקליזציה בקבוצה כפלית: תכונה אוניברסלית,בנייה מפורשת, דוגמאות (לוקליזציה בראשוני)
  -ספקטרום של חוג: הגדרה, ההתאמה תחת מורפיזמים, ראשוני המונח מעל ראשוני אחר, ראשוניים תחת לוקליזציה
  -חוגים מקומיים: לוקליזציה בראשוני, קבוצת הכפליים בחוג מקומי, קיילי-המילטון, הלמה של נקייאמה עבור חוג מקומי
  -הרחבות שלמות: תלות שלמה, תכונות שקולות לאיבר שלם

• הרצאה 3 ←

  -המשך הרחבות שלמות: אם x,y שלמים כך גם כל איבר ב-R[x,y], דוגמה: מציאת תלויות לינאריות- חישוב פולינום מינימלי, ניחוש או חישוב בידיים
  -סגירות בשלמות: הגדרה, R_3 מעל R_2 הרחבה שלמה וכך גם R_2 מעל R_3 => ש-R_3 שלמה מעל R_1, הסגור השלם סגור בשלמות
  -דוגמאות: כל UFD סגור בשלמות, כל PID סגור בשלמות, הרחבה בשורש 5
  -מעל כל ראשוני ב-S יש ראשוני ב-R (בהרחבות שלמות R של S)
  -נורמה ועקבה- תזכורות מב2

• הרצאה 4 ←

  -השלמת פער בהוכחה קודמת: ההעתקה מspec(S) ל-spec(R) כאשר R חלקית ל-S הרחבה שלמה היא על
  -משפט השאריות הסיני
  -טענה- ראשוניים שונים המונחים מעל אותו ראשוני לא מוכלים זה בזה, משפט הקירוב החלש, שדות השאריות
  -חבורות פירוקה ואינרציה: פעולת חבורה גלואה של L/K על הראשוניים המונחים מעל ראשוני נתון, חבורת הפירוק (מייצב הפעולה), מספר הראשוניים המונחים מעל ראשוני נתון בהרחבה ספרבילית, חבורת האינרציה (גרעין השיכון של חבורת הפירוק בחבורת האוטומורפיזמים של הרחבת שדות השאריות)
  -משפט: הסדרה המדוייקת היסודית
  -דוגמאות: חישוב חבורות פירוק ואינרציה בשלמים הגאוסיאניים

• הרצאה 5 ←

  -השלמת הוכחת המשפט על הסדרה המדוייקת היסודית
  -ראשוניים מסועפים ולא מסועפים
  -למה: כיצד חבורות הפירוק והאינרציה משתנות תחת אוטומורפיזם
  -איבר פרובניוס, סימן ארטין
  -דוגמה: חישוב חבורת גלואה של הפולינום x^5+2x^4+3x^3+4x^2+5x+6 בעזרת איברי פרובניוס
  -למה על חבורות פירוק ואינרציה במגדל שדות שהקצוות בו גלואה
  -חוגי דדדקינד- חוג הערכה בדידה ותכונות שקולות שלו, הגדרת חוג דדקינד
  -התחלת הוכחה: בחוגי דדקינד יש פירוק יחיד לאידאלים ראשוניים

• הרצאה 6 ←

  -פתרון שאלה משיעורי הבית
  -המשך הוכחה- פירוק יחיד למכפלת אידאלים ראשוניים בחוג דדקינד
  -אפיונים שקולים לחוגי דדדקינד
  -למה: חוג מקומי סגור בשלמות ונתרי עם ראשוני יחיד הוא PID

• הרצאה 7 ←

  -חבורות מחלקה
  -חוגי דדקינד בהרחבות

• הרצאה 8 ←

  -נוסחת ה-efg
  -דיסקרימיננטה

• הרצאה 9 ←

  -המשך דיסקרימיננטות
  -משפט קומר
  -נורמות של אידאלים

• הרצאה 10 ←

  -שדות ריבועיים, סכומי ריבועים
  -צירופים של שדות
  -שדות חשחוריים

• הרצאה 11 ←

  -סיום שדות ציקלוטומים והוכחת משפט ההדדיות הריבועית
  -התחלת תורת מינקובסקי

• הרצאה 12 ←

  -סופיות מספר המחלקה
  -לרציונליים אין הרחבות לא מסועפות ושימושים של זה